MATLAB應用介紹

台大生物機電系馮丁樹教授

參、如何操作 MATLAB資料

如前所述，MATLAB所處理之資料型態實際上僅有一種，即為長方矩陣，當然矩陣中之各小項可能為複雜的資料型式。所有之變數均以矩陣的型態出現，乍聽起來實在不可思議，不過這也是 MATLAB之所以成為MATLAB，它的賣點也就在這裡。在某些情況，一個常數即可視為一個１ｘ１之矩陣，當然你不這樣認為也無所謂，它是常數就當它是常數，而向量則視為行矩陣或列矩陣。

在MATLAB中，行矩陣與列矩陣僅是一般矩陣的特殊例子而已，一般矩陣有不同的處理方式：

以一系列單元輸入。
利用預設之函數產生。
在Ｍ檔案中產生。
由外面資料檔中直接輸入。.

MATLAB是將一般資料以矩陣或向量型態操作。故一個矩陣亦可直接在指令行之>>下輸入，例如：

>>A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];

Ａ是一個３ｘ３的矩陣，第一行的元素有三項，各項間以至少一個空格分隔；行與行間則以";"分隔。值得注意的是指令行最後的分號 ";"是具有特別意義，不能忽略不管。實際上MATLAB在此則是表示這行指令之執行結果不在螢幕上顯示，因此你看不到它的運算結果，但矩陣值則記在Ａ裡，在電腦中。通常寫指令檔案時，在指令行後均加上這個分號，以避免上顯示出許多不需要的東西。但是有時為偵錯之目的，可將其分號去除，以觀看其實際之運算結果。當然上述輸入完成之後，若想知道矩陣Ａ之內容時，則直接輸入>>A即可，螢幕之顯示將如下：

1      2      3
3      4      5
6      7      8

另一種輸入可以不加分號，但是強迫分行，亦可達到相同的效果：

>> B = [ 1  2  3  4
         　　5  6  7  8
         　　9 10 11 12]

     B =
          1    2    3     4
          5    6    7     8
          9   10   11    12

有了矩陣之實，即可進行各項操作，其中最常見的是將矩陣移置：即在一矩陣後加一撇, 如:

值得注意的是，這一撇的意?對於複數而言則有不同解釋，它是代表該複數之共軛複數之意。故若為移置，應改為 .',亦即在一撇之前要加一點.對於非複數型之矩陣,此兩個操作符號之功能則相同。

若要產生一個行向量之資料，則可輸入如下：

>>V = [1; 2; 3];

則打入Ｖ後， MATLAB 會回應如下：:

1
2
3

而行向量則可輸入如下：

>>V = [1 2 3 4];

打入Ｖ後，即會顯示：

1 2 3 4

列向量亦可由行向量以倒置法產生，例如：前文之 V向量若以倒置操作之方式如 V'，或將其倒置後置於另一變數Ｕ中，如：

>>V=[1 2 3 4]; % row vector

>>U=V'; % column vector

>>U

1
2
3
4

此處出現之 "%"表示以後之文字為附註，不會被執行。

若要產生一個列向量之變數，其值由間距為1秒，其範圍為0至10秒，則利用MATLAB更為簡單，只要執行下面的指令：

>>[t] = 0:1:10;
>> t=0:0.1:10
t =
Columns 1 through 7
         0    0.1000    0.2000    0.3000    0.4000    0.5000    0.6000
Columns 8 through 14
    0.7000    0.8000    0.9000    1.0000    1.1000    1.2000    1.3000
… …
Columns 92 through 98
    9.1000    9.2000    9.3000    9.4000    9.5000    9.6000    9.7000
Columns 99 through 101
    9.8000    9.9000   10.0000

上式之意思相同，前者較慎重，t 用[]括起來表示其為矩陣，但不用[]也沒關係。只是後面因為沒有分號”;”，t 的內容會在窗口中顯示出來。此後除非你再將t之內容用另外方式改變，否則它是一個列矩陣。你也可以用t這一個向量變數作為另一個函數之輸出入參數。例如：

>> x=sin(t)
x =
Columns 1 through 7
         0    0.0998    0.1987    0.2955    0.3894    0.4794    0.5646
Columns 8 through 14
    0.6442    0.7174    0.7833    0.8415    0.8912    0.9320    0.9636
… …
Columns 92 through 98
    0.3191    0.2229    0.1245    0.0248   -0.0752   -0.1743   -0.2718
Columns 99 through 101
   -0.3665   -0.4575   -0.5440

則ｘ矩陣所得之數值應為ｔ之sin函數，而ｘ亦為列矩陣，大小與 t 相同。

經過這番解說後，我們想利用MATLAB最強力之圖示法來表示其結果，則可將上述得到之[x]矩陣值與時間 [t]之函數關係繪製一圖，這個指令內容以後另外章節再談，但可以先執行如下：（注意：後面的 'r' 參數代表用紅色劃線的意思）

>>plot(t,x,'r')

結果：

圖 1. y=sin(x)

你瞧，多麼簡單，以往要在程式設計上繪出這樣的圖，要花一個上午的功夫，現在可是在一個指令下完成，真是酷極了。現在，你可以用拷貝的功夫將它搬到你喜歡的地方去，鑲在報告中眩耀一番。但是可別忙，這才開始而已呢。注意圖１中之座標均未加標示，圖的名稱也未命名。這該如何是好？有關這一節我們在後面章節陸續討論，如果你等不及的話，也可以用help plot先看看它的用法或參考其手冊再說。至少你可以感覺到 MATLAB 是一個強而有力的工具，讓你可以體會到其應用於許多不同的層面。利用 MATLAB，你應可以先觀察某一預設之函數或輸入資料之變化。

上面所得到之兩個矩陣[x]與[t]均為101項的列矩陣，其大小以1x101表示。由數學上得知，兩個矩陣相乘，必須是在大小相配合，否則會出差錯。例如，將前面所定義之兩個矩陣相乘會有什麼結果：

>> A=x*t
??? Error using ==> *
Inner matrix dimensions must agree.

這表示事有蹊蹺，而錯在那裡呢？照矩陣的乘法其第一個矩陣x之行數與第二矩陣t之列數應相同才能相乘，即[1x101]*[101x1]或[101x1]*[1x101]。以前者為例，則第二矩陣[t]必須先轉為行矩陣[101x1]，而其結果A應為[1x1]矩陣。如何將[t]直接轉為行矩陣呢？很簡單，只要在t後面加上’號，或　t’　我們稱為移置，讓我們先看看：

>> t'
ans =
         0
    0.1000
    0.2000
…
    9.8000
    9.9000
   10.0000

故　t’　顯然已成為行矩陣，其大小為101x1。有一個指令可知道任何矩陣的大小，叫做size()，我們可以試試看：

>>size(t')
ans =
101 1

在上面的例子中，我們發現亦可直接在指令窗下打入一個計算的陳述指令，其結果卻放在一個變數叫ans裡。當然，如果你希望將結果放在其他變數中，沒問題！只要將該變數名稱置於等號之左邊即可。例如：myans= size(t'); 則myans即會存剛剛顯示的答案(但是，myans這個變數的size又是如何呢？)。在這裡由 t 矩陣轉為 t'，我們稱它為移置(Transpose)。

經過前面的折騰之後，我們回到矩陣乘法之正題。現在已知 x*t’ 應該符合正當程序了，不是嗎？我們來做做看：

>> A=x*t’
A =
75.6724

>>size(A)
ans =
1 1

好像沒有錯誤，這就對了。顯然A之大小為1x1，其值為75.6724。以通式表示，二矩陣相乘，其大小應為[m x n] x [n x p]=[m x p]，右邊之結果即為矩陣相乘後之大小。事實上這部份之規則在工數裡早就講得很多，這裡只是再一次強調，有點畫蛇添足，無論如何只是一句話，為說明MATLAB還是服從數學的法則而已。

矩陣相乘，還有許多有趣的例子。既然大小要相符合，那兩個大小相同之方矩陣之相乘則是毫無顧忌了，事實上也是如此，且看下例；

?A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]　　％建立一個３Ｘ３矩陣Ａ

A =

1 2 3
4 5 6
7 8 9

?A*A

ans =

30 36 42
66 81 96
102 126 150

?A*A*A

ans =

468 576 684
1062 1305 1548
1656 2034 2412

?A^3

ans =

468 576 684
1062 1305 1548
1656 2034 2412　　％結果與A*A*A相同!

結果好像都很正常，顯然即使矩陣之三次方，也有它的意義。但是若作成.^時，其結果就完全走樣了，不是嗎？

?A.^3

ans =

1 　 8 　27
64 125 216
343 512 729

上面這個問題在那裡呢？有些時候我們並不是真正要做這種[相乘]的事，因為那樣的結果太過正經了，有時我們僅是希望兩矩陣中之相對應的項目提對兒廝殺，然後結果仍然是原來之矩陣大小，或者是原來的矩陣，僅將矩陣內之項目例如自行平方或開方，如此而已。為此，MATLAB自創一個操作元，即在操作元前面加逗點”.”，只要將這逗點置於操作元之前面，即表示就是這種一對一之處理方式，前面之結果應即是各項之三次方。下列也是一個好例子：

E = [1 2;3 4]
F = [2 3;4 5]
G = E .* F

     E =
          1   2
          3   4

     F =
          2   3
          4   5

     G =
          2   6
         12 20

若仍以前面A=x*t產生錯誤為例，再次印證這種用法：

>>A=x.*t
A =
Columns 1 through 7
         0    0.0100    0.0397    0.0887    0.1558    0.2397    0.3388
Columns 8 through 14
    0.4510    0.5739    0.7050    0.8415    0.9803    1.1184    1.2526
…
Columns 85 through 91
    7.1786    6.7871    6.3158    5.7678    5.1473    4.4591   3.7091
Columns 92 through 98
    2.9038    2.0506    1.1574    0.2329   -0.7139   -1.6735   -2.6361
Columns 99 through 101
   -3.5915   -4.5296   -5.4402

>>size(A)
ans =
1 101

針對這一個例子，我們也可以用同樣的繪圖手法，看看A對 t 所能展現之曼妙舞姿：

>>plot(t,A,'r')

結果：

Fig 2. y= x sin(x)

與前面之數值印證一下，看矩陣A是否為對應項相乘之結果。而A之大小仍然為[1x101]。所以在上式中，需個特別注意在*號之前有一個點，這並不是打錯，而是有其特別意義。但之失之一點則會謬之千里。

在此特別提醒一下，應用時若遇到指數型式的數字，例如 2.34e-9, 其間必須不得留空格，否則它會看成矩陣之兩個項目。要列出大矩陣時，最好使用M-file，那樣會比較容易偵錯。MATLAB 有內建函數如rand、magic、hilb等，使初學的人可以利用它進行各項練習。這些都會產生一個 n x n 之矩陣，以 n=3 為例，分別如下：

>>rand(3)
ans =
    0.5828    0.3340    0.5798
    0.4235    0.4329    0.7604
    0.5155    0.2259    0.5298

>>magic(3)
ans =
     8     1     6
     3     5     7
     4     9     2

>> hilb(3)
ans =
    1.0000    0.5000    0.3333
    0.5000    0.3333    0.2500
    0.3333    0.2500    0.2000

指令 rand(n) 與 rand(m,n) 將個別產生 nｘn 與 mｘn 亂數矩陣。而 magic(n) 則產生 nｘn 之摩術方塊矩陣 (即行與列之和均相同)； hilb(n) 則產生 nｘn 布伯特（Hilbert ）矩陣，是一種非常不良條件下之矩陣，其各項之值以1/(i+j-1)計算，其中 i 與 j 分別為矩陣之列數與行數。一般矩陣亦可以用 for-loop之迴圈指令產生，而前面所用之 [0:0.1:10] 也是常用的方法。

矩陣或向量矩陣之項目可以利用括號中之指數來表示。例如 A(2,3) 表示Ａ矩陣中第二列第三行處之項目，而 x(3) 則代表第三座標之向量ｘ。

一個矩陣之反置亦可依下述之操作求得：

>> X = inv(E)

     X =
        -2.0000    1.0000
         1.5000   -0.5000

其特徵向量值（eigenvalues）則為：

>> eig(E)

     ans =
        -0.3723
         5.3723

一個矩陣之多項式特性係數亦可依下法求得，其係數成為一列向量：

>>p = poly(E)

p =

1.0000 -5.0000 -2.0000

而依工程數學之觀念，一多項式之特性根即為所構成之矩陣之根，其解法僅需一個很簡單的指令：

>> roots(p)


     ans =
         5.3723
        -0.3723

在MATLAB的國度裡是多彩多姿的。實際上為了增加不同工作的便利性，它仍與其他語言一樣，設計有內鉗函數，諸如： sin, cos, log, exp, sqrt, 以及很多很多。而常有的常數如圓周率 pi,複數之 i 或 j 等作為 -1開方根的代言人，而eps代表這個數據世界中最小的值，等等。相信你在MATLAB的世界中一定會活得很快樂，阿門。

多項式

在Matlab中，一個多項式可以用向量取代。故如要產生一個多項式，只要將其係數依降?排列置於一個向量矩陣內即可。設你正在處理下面一個多項式：

s^⁴+ 3s^³ - 15s^² - 2s +9

此時你唯一要做的事是將係數依序放入這個矩陣中：

>> x = [1 3 -15 -2 9]

     x =
          1  3  -15  -2  9

Matlab 會將這一個 n+1大小之列矩陣視為一個 n 次方之多項式。故若你所處理之多項式中有係數不見者，其位置應保留為零，以獲得正確的矩陣向量，例如：

s^⁴+　１

其值應為：

y = [1 0 0 0 1]

有了上次的矩陣向量之後，你可以用polyval這個函數來求得這個多項式之實際值：例如要求得ｓ=2之多項式值時，可下指令如下：

z = polyval([1 0 0 0 1],2)

     z =
          17

除此之外，亦可尋找其正確的根，如第一個多項式：

s^⁴+ 3s^³ - 15s^² - 2s +9

其指令如下：

>> roots([1 3 -15 -2 9])
	

     ans =
        -5.5745
         2.5836
        -0.7951
         0.7860

上式根實際上就是一個矩陣的特徵矩陣值，故若使用愛根值或根項之值亦可反求多項數之係數矩陣，這需要另一個叫poly的函數：

?poly(ans)

ans =

1.0000 3.0000 -15.0000 -2.0000 9.0000

如果你心血來潮,想將兩個多項式相乘,這似乎難不倒matlab，它有一個所謂之迴旋(convolution)的功能，利用conv函數可以將兩係數相乘：

>> x = [1 2];
>> y = [1 4 8];
>> z = conv(x,y)

     z =
          1  6  16  16

而兩個多項式相除則更簡單，其反迴旋的太極功能函數叫deconv即可順利處理。例如讓ｚ除以ｙ得到ｘ：.

>> [xx, R] = deconv(z,y)

     xx =
          1  2

     R =
          0  0  0  0

與前面對證,其結果應與前述相同。這裡又有一項Ｒ，是供除不盡時存放餘數的位置，若能除盡則置放零。

若要兩個多項數相加，直接使用矩陣相加，應是相安無事，只是矩陣僅能處理兩個行列相同的矩陣。若大小不同，則必須藉助自己定義的函數polyadd。自己定義的當然不會在MATLAB中出現，但若能自己寫一個程式，將它放在工具箱中，也算是一項貢獻吧。下面是應用的例子：

>> z = polyadd(x,y)

     x =
          1  2

     y =
          1  4  8

     z =
          1  5  10